Замена переменных под знаком двойного интеграла

Замена переменных в двойных интегралах.

Глава: Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах. Требуемая условиями задачи сторона поверхности определяется выбором соответствующего знака в формуле ( ). Для вычисления двойного интеграла ∬Rf(x,y)dxdy иногда удобнее перейти в Замена переменных в двойном интеграле описывается формулой ∬Rf(x. Метод замены переменной обычно применяется, когда Пример 1. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной: Интегрирование подведением под знак дифференциала Вычисление двойных интегралов.

По сути дела, это одно и то же, но оформление решения выглядит по-разному. Начнем с более простого случая. Подведение функции под знак дифференциала На уроке Неопределенный интеграл.

Примеры решений мы научились раскрывать дифференциал, напоминаю пример, который я приводил: То есть, раскрыть дифференциал — это формально почти то же самое, что найти производную.

Пример 1 Найти неопределенный интеграл. Смотрим на таблицу интегралов и находим похожую формулу: Подводим функцию Раскрывая дифференциал, легко проверить, что: Фактически и — это запись одного и того. Но, тем не менее, остался вопрос, а как мы пришли к мысли, что на первом шаге нужно записать наш интеграл именно так: Почему так, а не иначе?

Поэтому мысленное рассуждение при решении должно складываться примерно так: Я посмотрел в таблицу и нашел похожую формулу.

Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах

Но у меня сложный аргумент и формулой я сразу воспользоваться не могу. Однако если мне удастся получить и под знаком дифференциала, то всё будет нормально.

Замена переменных в двойном интеграле Предположим, что нам даны две плоскости, отнесенные одна — к прямоугольным осям х и у, а другая — к таким же осям Рассмотрим в этих плоскостях две замкнутые области: Контур или границу области если область не охватывает всей плоскости мы будем предполагать простой кусочно-гладкой кривой; обозначим его символом для области D и символом для области Д рис.

Допустим, что в области Д дана система непрерывных функций: Если различным точкам отвечают различные же точки что мы впредь и будем предполагатьтак что каждая точка отнесена лишь одной точке то формулы 1 однозначно разрешимы относительно Переменные в свою очередь являются однозначными функциями от х, у в области Таким образом, между областями D и Д устанавливается взаимно однозначное или одно-однозначное соответствие.

Говорят также, что формулы 1 осуществляют преобразование области Д в область Dа формулы 1а дают обратное преобразование области D в область Д. Если названные области заполняют соответствующие плоскости, то мы имеем дело с преобразованием одной плоскости в другую.

Замена переменной под знаком определенного интеграла.

Наконец, если обе плоскости совпадают. Мы будем предполагать, далее, что функции 1 и 1а не только непрерывны, но и имеют непрерывные частные производные первого порядка.

  • Метод замены переменной в неопределённом интеграле
  • Замена переменных в двойных и тройных интегралах

Аналогично, внутренней точке области D отвечает всегда внутренняя точка области Л. Отсюда уже ясно, что точкам контура 2 отвечают именно точки контура и обратно.